数学教案－双曲线的几何性质

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　　数学教案－双曲线的几何性质

　　?§8．4 双曲线的几何性质（第1课时）

　　㈠课时目标

　　1． 熟悉双曲线的几何性质。

　　2． 能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。

　　3． 能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。

　　㈡教学过程（www.fwsir.com）

　　[情景设置]

　　叙述椭圆 的几何性质，并填写下表

　　方程

　　性质

　　图像 （略）

　　范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b

　　对称性 对称轴、对称中心

　　顶点 （±a,0）、（±b,0）

　　离心率 e=(几何意义)

　　[探索研究]

　　1．类比椭圆 的几何性质，探讨双曲线 的几何性质范围、对称性、顶点、离心率。

　　双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。

　　双曲线与椭圆的几何性质对比如下

　　方程

　　性质

　　图像 （略） （略）

　　范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b x≥a,或x≤-a,y∈R

　　对称性 对称轴、对称中心 对称轴、对称中心

　　顶点 （±a,0）、（±b,0） （-a,0）、（a,0）

　　离心率 0＜e=＜1

　　e=＞1

　　下面继续研究离心率的几何意义

　　（a、b、c、e关系c2=a2+b2, e=＞1）

　　2.渐近线的发现与论证

　　根据椭圆的`上述四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（能）

　　根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（不能）

　　通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。

　　我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。

　　问双曲线 有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？

　　引导猜想在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出

　　y=±=±

　　当x无限增大时， 就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=±

　　与直线y=± 无限接近。

　　这使我们猜想直线y=± 为双曲线的渐近线。

　　直线y=± 恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=±a, y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。

　　证法1如图，设M（x0,y0）为第一象限内双曲线 上的仍一点，则

　　y0= ，M（x0,y0）到渐近线ay-bx=0的距离为

　　∣MQ∣= =

　　= ．

　　点M向远处运动， x0随着增大，∣MQ∣就逐渐减小，M点就无限接近于 y=

　　故把y=± 叫做双曲线 的渐近线。

　　3．离心率的几何意义

　　∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得===

　　e越小（接近于1） 越接近于0，双曲线开口越小（扁狭）

　　e越大 越大，双曲线开口越大（开阔）

　　4．巩固练习

　　求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。

　　①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4

　　已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程

　　①M（4， ） ②M（4， ）

　　[知识应用与解题研究]

　　例 1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

　　例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）

　　㈣提炼

　　1. 双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。

　　2. 渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。

　　3. 双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。

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