奇函数乘偶函数是啥函数（奇函数加上偶函数是什么函数，怎么证明

生活常识 2023-04-17 07:51生活常识www.jianfeiren.cn

　　一、函数奇偶性的概念

　　１．　一般地，对于函数ｆ（ｘ），如果对于函数定义域内任意一个ｘ，都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），那么函数ｆ（ｘ）就叫做偶函数。

　　一般地，对于函数ｆ（ｘ），如果对于函数定义域内任意一个ｘ，都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），那么函数ｆ（ｘ）就叫做奇函数。

　　注奇偶性是针对整个定义域而言的，而单调性是针对定义域内的某个区间而言的，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

　　２．按奇偶性分类，函数可分为四类

　　奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数．

　　３、奇偶函数的图象

　　奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图像关于ｙ轴对称。

　　奇函数

　　偶函数

　　４、函数奇偶性的性质

　　①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称

　　②若ｆ（ｘ）是奇函数，且ｘ在０处有定义，则ｆ（０）＝０。

　　③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同

　　④任意定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

　　⑤如果有函数ｇ（ｘ）和ｆ（ｘ），则他们的复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］的定义域是关于原点对称的。当ｕ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｕ）都是奇函数时，ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］是奇函数；当ｕ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｕ）都是偶函数或者一奇一偶时，ｙ＝　ｆ［ｇ（ｘ）］是偶函数。

　　复合函数的奇偶性特点是“内偶则偶，内奇同外”．

　　５．几个与函数奇偶性相关的结论

　　①奇函数＋奇函数＝奇函数；偶函数＋偶函数＝偶函数；

　　②奇函数×奇函数＝偶函数；奇函数×偶函数＝奇函数。

　　二、判断函数奇偶性的步骤

　　①、求ｆ（ｘ）定义域，判断定义域是否关于原点对称；不对称则是非奇非偶函数，对称转下一步

　　②、化简ｆ（ｘ），再求ｆ（－ｘ），比较两者的关系

　　③、根据定义定义得出结论。

　　三、抽象函数奇偶性的判断

　　方法判断抽象函数的奇偶性常用赋值法。在已知抽象函数关系中凑出ｆ（－ｘ）＋ｆ（ｘ）或者ｆ（－ｘ）－ｆ（ｘ）．一般先去探求ｆ（０）的值（或者ｆ（１）、ｆ（－１）的值），再令ｙ＝－ｘ，从而产生ｆ（－ｘ）和ｆ（ｘ）的关系。

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